La apertura numérica es el seno del mayor ángulo con que puede incidir un modo en la fibra óptica, en el siguiente diagrama es el seno del ángulo alfa, es decir que se corresponde con el modo de máximo ángulo de incidencia al medio con n1.
Queremos despejar al seno de alfa en función de los parámetros n0, n1 y n2.
Despeje de la apertura numérica
Aplicando la ley de Snell en el ángulo alfa
sen(∝)n0=sen(β)n2
Despejando la apertura numérica AN
AN = sen(∝) = sen(β)n2 / n0
Además se cumple que el seno de beta es igual al coseno de tita, entonces
AN = sen(∝) = cos(θ)n2 / n0
Como θ es el ángulo crítico de la reflexión interna, la ley de snell para θ queda
sen(θ)n2=sen(90º)n1
De donde podemos despejar al seno de θ
sen(θ) = n1/n2
Pero en la ecuación de la apertura numérica aparece el seno de θ y no el coseno. Entonces usamos la siguiente igualdad
cos²(θ)+sen²(θ)=1
Y despejamos el coseno de θ en función del seno de θ, de donde
cos(θ) = raízde {1-sen²(θ)}
Reemplazando en la apertura numérica
AN = sen(∝) = raízde {1-sen²(θ)} n2 / n0
Reemplazando por lo que vale el seno θ
AN = sen(∝) = raízde {1 – (n1/n2)² } n2 / n0
Distribuyo el cuadrado en n1/n2, y escribo el «1» que está a la izquierda como n2 al cuadrado sobre n2 al cuadrado para hacer denominador común
El n2 que sale de la raíz se cancela con el que está afuera, luego la apertura numérica vale
Ejercicios de Matemática 