Cálculo III

Series de Fourier

Series de FourierSeries de Fourier 2Series de Fourier 3Series de Fourier 4Series de Fourier 5Series de Fourier 6Series de Fourier 7Series de Fourier 8Series de Fourier 9Series de Fourier 10Series de Fourier 11Series de Fourier 12Series de Fourier 13Series de Fourier 14Series de Fourier 15Series de Fourier 16Series de Fourier 17Series de Fourier 18Series de Fourier 19

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Los numeros complejos se pueden escribir como

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Los complejos se pueden escribir

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En los números complejos..

En los números complejos se mantienen algunas propiedades, por ejemplo el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado sigue dando 1.

Demostración

seno cuadrado mas coseno cuadrado igual a 1seno cuadrado mas coseno cuadrado igual a 1 b

Además, se puede comprobar que las funciones trigonométricas seno y coseno tienen los mismos ceros que los senos y cosenos reales.

Demostración

ceros del seno aceros del seno bceros del seno cceros del seno d

Lo que si cambia es que el seno y el coseno ya no están acotados, ya no toman valores entre 0 y 1 necesariamente.

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Punto medio.png

Algebra I, Algebra II

Punto medio entre dos vectores

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Series numericas complejas

Cálculo III

Series numéricas complejas

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Tiende a cero por acotado

Cálculo III

Tiende a cero por acotado, tiende a cero

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Leibniz.png

Cálculo III

Criterio de Leibniz para la convergencia de series alternadas

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Cálculo III

Sobre las funciones complejas

Función armónica: Se dice que una función es armónica si tiene derivadas continuas de primer y segundo orden y Hxx (x,y) + Hyy (x,y) = 0.

Si F(z) = u (x,y) + i v (x,y) es analítica (holomorfa) en D, entonces u y v son armónicas en D; y se dice que u y v son armónicas conjugadas.

Función entera es derivable en todo el plano complejo. El radio va a hablar de cuanto me falta para llegar desde el z0 hasta la próxima singularidad.

Si una función es analítica en z0 si es derivable en z0 y en un entorno de z0

Analítica ==> derivable en un entorno del z0 y en z0

En complejos una función es singular en z0 si la misma no es analítica en z0

Para una función ser continua no tiene que tener singularidades??

Condiciones de Cauchy-Reeman

Ux = Vy

Uy = -Vx

Si se cumplen las condiciones de Cauchy Reeman y además las derivadas parciales existen y son continuas, entonces la función es derivable.

Si una función no es continua, no es derivable.

Ejercicio 1Ejercicio 2Ejercicio 3Ejercicio 4

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Series de potencia.png

En reales donde converge representan a una función, por ejemplo el polinomio de Taylor centrado en el cero representa a la exponencial

Exponencial desarrollo.png

Para cada valor de z o de x tengo una serie numérica

Cálculo III

Series de potencia alrededor de z0

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Series p

Cálculo III

Series P

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Condicion general para convergencia de serie.png

Cálculo III

Condición necesaria para la convergencia de una serie

Imagen
Cálculo III

Inversa de la exponencial compleja

Dada la función exponencial w = e^z quiero que si a un complejo z le aplico esta función y después le aplico la función logaritmo, me devuelva z de nuevo.

Entonces quiero ir desde w = e^x eîy hasta z = x+iy, para ir desde los valores a los que le aplique la exponencial hasta los valores de nuevo.

Entonces observo que, el módulo de w es e^x.

Entonces si aplico logaritmo natural al módulo de w, obtengo x, la parte real de z.

También observo que la fase o argumento de w es y, la parte imaginaria de z.

Luego como logaritmo natural, me queda definido

ln(w) = ln(|w|) + i arg(w)

Pero como estoy hablando de función inversa necesito que la misma sea biyectiva entonces necesito siempre aclarar en que intervalo de de 2 pi estoy trabajando (para que dos ángulos no me definan el mismo valor).

Cuando escribo el argumento y el logaritmo con la primer letra en mayúscula se sobre entiende que el intervalo es de menos pi a pi, y me queda definido el logaritmo principal

Ln(w) = ln(|w|) + i Arg(w)

y en los demás tengo que aclarar que argumento estoy usando.

 

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Derivarc

Cálculo III

Derivar

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Física IV

Experimento de Michelson-Morley

Cuando se produjo el experimento de Michelson-Morley, aún eran válidas las leyes de la mecánica clásica, es decir que aún se consideraban que la distancia y el tiempo eran cantidades absolutas.

Pero además, se había descubierto que la luz no era tan solo un conjunto de partículas sino que se comportaba como una onda. Y como todas las ondas que se conocían hasta el momento eran ondas mecánicas (es decir, ondas que se propagaban en medios como las ondas sonoras que se propagaban en el aire, las ondas que se propagaban en cuerdas, etc), se creía que las ondas de luz también se propagaban en un medio, y que este medio era el éter.

Sobre el éter se creía que era un medio transparente, y lo suficientemente rígido como para que las ondas de luz pudieran perturbarlo y propagarse a través de él.

Además se lo consideraba un sistema de referencia privilegiado, que estaba en reposo con todas las estrellas y con el sol, respecto al cual se podían definir los movimientos absolutos.

La explicación de porque todos los planetas podían desplazarse a través de él a pesar de su rigidez era el viento del éter.

Funcionamiento del experimento

En el experimento de Michelson-Morley se intentaba medir la velocidad con que se movía la tierra respecto al éter.

Para ello se hizo incidir un rayo de luz que se reflejo parcialmente a dos espejos, uno de los cuales se colocaba en la dirección del movimiento de la tierra, y otro de los cuales se colocaba de forma perpendicular.

Interferometro de michelson morley 2.png

Experimento de Michelson y Morley, versión simplificada

¿Qué se esperaba ver en el experimento?

Para el rayo 1

El rayo que se mueve de forma perpendicular a la dirección en que se mueve la tierra, no solo tenía que moverse hacía arriba para llegar al espejo sino también hacía la derecha, porque tanto la tierra como todo el experimento se estaban moviendo hacía la derecha con una velocidad v.

Entonces, el rayo de luz se movía con una velocidad v hacía la derecha, con una velocidad c en la dirección de su trayectoria, y por lo tanto con una velocidad V hacía arriba, que aplicando pitágoras tiene la siguiente expresión

velocidades para arriba 2.png

Tanto en mecánica clásica como en mecánica relativista un observador que viera el experimento desde afuera, vería inalteradas las longitudes en las direcciones distintas a la del movimiento relativo de los sistemas de referencia. Entonces el rayo de luz va a recorrer una distancia L para llegar al espejo de arriba y una distancia L para volver, tanto en mecánica clásica como en mecánica relativista.

rayo 1.png

Luego el rayo 1 se esperaba que tardaría ese tiempo para recorrer la distancia L. Ahora hay que ver cuánto tardaría el rayo 2.

Para el rayo 2

Podemos calcular dos tiempos para este rayo, que son el que tarda hasta reflejarse en el espejo de la derecha, y el que tarda en regresar.

En los cálculos

Para el rayo 2 en la ida:

Velocidad es distancia sobre tiempo transcurrido

velocidad = distancia / tiempo

Si llamamos t1 al tiempo que tarda el rayo en llegar al espejo, como la tierra se mueve con una velocidad v, la distancia d que se trasladó el espejo fue

v = d/t1  ==>  d = v*t1

Y como el rayo de luz tiene una velocidad c, y recorre una distancia L + d en un tiempo t1, aplicando la fórmula para la velocidad queda

c = {L + v*t1} /t1

De donde podemos despejar el tiempo t1

ct1 – vt1 = L     ==>    t1 = L / (c-v)

Para el rayo 2 en la vuelta:

Si ahora llamamos t2 al tiempo que tarda el rayo en regresar, como la tierra se mueve con una velocidad v, la distancia que se trasladó el espejo fue

v = dist / t2  ==> dist = v*t2

Y como el rayo de luz tiene una velocidad c, y recorre una distancia L – dist (porque el espejo va hacía su encuentro), lo hace en un tiempo t2

c = (L-dist) / t2   ==>  c = (L-vt2) / t2

Despejando el tiempo

ct2 = L – vt2  ==>  t2 = L / (c+v)

Entonces el rayo tarda un tiempo t1 = L / (c-v) para ir y un tiempo t2 = L / (c+v) para volver.

Velocidades relativas

Vemos que lo que aparece en los denominadores son las velocidades relativas entre el rayo de luz y los espejos (es decir, la velocidad con que se acercaban a los mismos)

Una explicación del por qué en las siguientes diapositivas

Diapositiva1Diapositiva2Diapositiva3Diapositiva4Diapositiva5Diapositiva6Diapositiva7Diapositiva8Diapositiva9

En conclusión todo surge de que no conocían que la velocidad de la luz no seguía las leyes clásicas de las velocidades relativas.

 Tiempo que tardó el rayo 2 en total en ir y venir

Luego el tiempo que tarda el rayo en ir y venir es

t1 + t2 = L/(c-v) + L/(c+v)

t1 + t2 = L {1/(c-v) + 1/(c+v)}

Haciendo denominador común

t1 + t2 = L {(c+v) / (c+v)(c-v) + (c-v) / (c+v)(c-v)}

t1 + t2 = L {(c+v+c-v) / (c+v)(c-v)}

Distribuyo en el denominador y queda

t1 + t2 = L {2c / (c²-v²)}

Ahora del denominador puedo sacar un c² de factor común y queda

t1 + t2 = L {2c / c²(1-v²/c²)}

t1 + t2 = 2L/c * {1 / (1-v²/c²)}

Luego el rayo 2 tarda un tiempo

t = 2L/c * {1 / (1-v²/c²)}

Entonces el tiempo que tardo cada rayo en propagarse fue

Tiempo que tardaron los rayos.png

Aproximación

Si bien podríamos trabajar directamente con estas expresiones, como la velocidad v con que la tierra órbita alrededor del sol es mucho menor que la velocidad de la luz c, el cociente entre v y c es mucho menor que uno

v/c << 1

y como v/c tiene un valor tan pequeño, a la función la podemos aproximar por su polinomio de Taylor centrado en el origen (también conocido como polinomio de McLaurin).

Tanto L como c como el 2 que aparece en los primeros términos, son constantes. Entonces lo que quiero aproximar son las funciones

funciones a aproximar.png

Para aproximar estas funciones voy a usar la serie de Taylor que me dice que puedo reescribir mi función como una suma infinita de términos

Diapositiva1

Mis funciones tienen la misma forma. Entonces voy a trabajar con una expresión genérica, similar a ambas, y luego a darle valores a m igual a -1 y a -1/2 para aplicarlo a mis funciones.

Luego voy a derivar esta expresión varias veces ya que en la serie de McLaurin aparecen las derivadas enesimas de la función.

Diapositiva2

Luego las evalúo a todas en cero, ya que así aparecen en la serie

Diapositiva3

Intento llegar a una expresión general para la derivada enesima, y veo que voy obteniendo una multiplicación de m por m-1 por m-2.. y así, pero hasta un cierto valor en particular que depende de cuál es la derivada que estoy calculando.

Por ejemplo si estoy calculando la derivada 4ta solo aparece hasta el término m-3, si estoy calculando la derivada 5ta solo aparece hasta el término m-4, y así si estoy calculando la derivada número n solo aparece hasta el término m – (n-1)

Diapositiva4

Esto me permite reescribirla de alguna manera y encontrar una expresión más sencilla de estas derivadas.

Para que solo aparezcan esos términos en particular, uso que el factorial de un número consiste en multiplicarlo por el anterior a él, y por el anterior a él, por el anterior a él, y así.

Yo en realidad lo que quiero es m! (que sería m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*(m-4)..), pero solo hasta ..*(m-(n-1)) es decir hasta ..*(m-n+1).

Los términos a partir de *(m-n).. no quiero que aparezcan. Entonces divido a m! por (m-n)!, ya que al dividir, los términos que tienen en común ambos factoriales se van a cancelar y no van a aparecer.

Diapositiva5

Checkear que funciona

Por ejemplo si m es 11 y n es 4, como mi función es m*(m-1)*(m-2)*.. *(m-(n-1)), mi función va a tener la forma  11*(11-1)*(11-2)*(11-3)*.. hasta el término 11-(4-1) es decir hasta 8.

11*10*9*8

Reescribiéndola con factoriales quedaría 11!/(11-4)! es decir 11!/7! es decir

11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 / 7*6*5*4*3*2*1

Lo cual es igual a

11*10*9*8

Es decir que logramos escribir las derivadas enésimas de la función de forma más compacta.

La serie

Ahora que tengo una expresión para las derivadas enesimas, puedo reemplazarla en la serie y tengo la serie de McLaurin de mi función.

Luego escribo sus primeros términos

Diapositiva6

Si escribo todos los términos entonces no estoy aproximando sino que obtengo el valor exacto de mi función.

Mi aproximación consiste en quedarme con algunos términos. Me quedo con los dos primeros ya que los demás son todos más pequeños porque en ellos aparecen x², x³, etc (y como ya de por sí x es un valor muy pequeño al multiplicarla por si misma quedan valores aún más chicos).

Con lo cual con los primeros dos términos ya obtengo una buena aproximación y (1+x)^m puede aproximarse como 1+mx. Entonces mis funciones pueden aproximarse así

Taylor y McLaurin de 1+x a la n.png

Diferencia de tiempos

Ahora los tiempos que tardarían los rayos según la mecánica clásica, los puedo aproximar como

Diferencia de tiempos.png

Con esta aproximación la diferencia de tiempos que se esperaba observar era de

Diferencia de tiempos que tardaron los rayos.png

Resultado esperado: Lo que se esperaba ver

El experimento se realizó dos veces, con el mismo interferómetro y por lo tanto, los brazos con la misma longitud L, con la misma velocidad de la tierra y claro que con la misma velocidad de la luz, tan solo en la segunda vez que se realizó se roto 90º a todo el experimento.

Cada vez que se realizo el experimento se observó un patrón de interferencia con máximos y mínimos de intensidad,  debido a la diferencia D en las distancias que recorrieron ambos rayos y a que son dos rayos de luz y por lo tanto, dos ondas electromagnéticas que interfieren.

Como velocidad es distancia sobre tiempo transcurrido y los mismos se propagan con la velocidad de la luz c, se esperaba que uno de los rayos recorriera una distancia D más que el otro según la siguiente ecuación

c = D / Δt  ==>  D = c*Δt

Entonces en total uno de los rayos recorrió una distancia D más que el otro cada vez que se repitió el experimento. Con lo cual en total recorrió una distancia 2D = 2c*Δt más que el otro.

Las ondas tienen una longitud de onda (distancia entre los frentes de onda) λ. La diferencia entre los caminos recorridos por ambas ondas (rayos 1 y 2 de luz) fue de 2c*Δt.

Si yo divido la distancia que un rayo recorrió más que el otro por la longitud de la onda, obtengo la fracción ΔN de una onda completa que recorrió el segundo rayo más que el primero en total, es decir que obtengo cuánto se desplazo el patrón de interferencia.

ΔN = 2c*Δt / λ

Reemplazando por la expresión aproximada que tenemos para Δt obtenemos que se esperaba observar el siguiente desplazamiento en las franjas de interferencia por el viento del éter

ΔN = 2c*{Lv²/c³} / λ

ΔN = 2Lv² / c²λ

Como la velocidades de la tierra y la luz son aproximadamente de 30 km/seg y de 300 000 km/seg, el cociente v/c es aproximadamente

v/c ≅ 30 / 30 000 = 10^{-4}

Y como está elevado al cuadrado

v² / c² ≅ (10^{-4})^2

v² / c² ≅ 10^{-8}

Michelson y Morler realizaron el experimento en un principio con un interferómetro cuyos brazos median una longitud L = 1,2 m, y algunos años después con uno cuyos brazos medían L = 11m, y con un haz de luz con longitud de onda λ = 590 nm.

Entonces el desplazamiento que se esperaba ver era de

ΔN = 2*1,2m*10^{-8} / 590nm

ΔN = 2,4m*10^{-8} / 590*10^{-9}m

ΔN = 2,4*10 / 590

ΔN ≅ 0,04

para la primera vez que realizaron el experimento, y

ΔN = 2*11m*10^{-8} / 590nm

ΔN = 22m*10^{-8} / 590*10^{-9}m

ΔN = 22*10 / 590

ΔN ≅ 0,4

para la segunda vez.

Bibliografía consultada: Física Moderna – P. Tipler

Resultados del experimento

Los resultados del experimento fueron “nulos“, es decir que se concluyó que si bien los instrumentos eran lo suficientemente precisos como para detectar el desplazamiento del patrón de interferencia esperado, de todas formas no se logró detectar.

Por lo cual había que darle alguna explicación al resultado del experimento.

Explicaciones que surgieron

Al principio muchos creyeron que simplemente Michelson no había podido medir esa diferencia de longitud que se esperaba porque era muy pequeña. También se creía que era porque la longitud de los dos brazos del interferómetro no podía ser exactamente la misma (y esta diferencia por más ínfima que sea entre las longitudes sería considerable debido a que la diferencia de longitud que querían medir era muy pequeña). Pero se hicieron varios experimentos después y nadie pudo detectarlo.

Una de las primeras explicaciones (incluso fue la del propio Michelson al principio) fue que el éter, este medio en el que se propagaba la luz, estuviera moviéndose junto con la tierra.

Pero el fenómeno de aberración de la luz, que en aquél momento ya se conocía, mostraba como según las observaciones del astrónomo James Bradley, si hoy observamos la luz que viene de una estrella, para volver a observarla luego de un cierto tiempo con el mismo telescopio, habrá que inclinarlo un poco.

Si el éter existía y era el medio en que se propagaba la luz, y a su vez la tierra lo arrastraba, esto implicaría que los rayos de luz nos llegarían siempre con la misma inclinación, lo cual no concordaría con lo observado por el astrónomo. La idea de que la tierra arrastraba al éter tardó poco tiempo en ser descartada.

Hubieron muchas explicaciones más que surgieron en el camino.

En realidad, lo que ocurre realmente fue (sin querer) explicado por Albert Einstein varios años después. La velocidad de la luz es c respecto a cualquier sistema de referencia, ya sea desde un observador firme en la tierra que se mueve junto con ella y junto con todo el experimento, como desde un observador externo en el espacio, o desde cualquier otro sistema de referencia. Siempre es c. No es que el rayo de luz se mueve con velocidades relativas c-v y c+v respecto del espejo, sino que siempre se mueve respecto de el con velocidad c, y entonces lo que se modifican son las longitudes y tiempos para que esta velocidad tenga ese valor igual que en todos los sistemas de referencia. Este es el por qué no se puedo observar una diferencia entre los patrones de interferencia al rotar el experimento, incluso realizándolo en distintos momentos del año o con instrumentos más precisos.

¿Qué información previa tuvo Einstein para poder llegar a esta conclusión?

Una de las bases o lecturas previas de Einstein para llegar a esta conclusión, es la contracción de Lorentz-Fitzgerald, en la cual se proponía que uno de los brazos del interferómetro (el que estaba orientado en la dirección del movimiento de la tierra) se contraía con el movimiento. Para analizar y justificar esta afirmación Lorentz dedujo y uso las más tarde conocidas como “ecuaciones o transformaciones de Lorentz” que también demostró y uso Einstein en la teoría de la relatividad.

Einstein también leyó muchos de los artículos de Ernst Mach y siguió muy de cerca sus trabajos.

También antes que Einstein, el fránces Henry Poincaré había trabajado con las ecuaciones de Lorentz, y había llegado a muchas de las conclusiones que luego aparecen en la teoría de la relatividad de Einstein.

Además, una de las principales motivaciones de Einstein era generalizar el principio de relatividad de Galileo para que se cumpliera para cualquier sistema de referencia inercial, y por lo tanto también para las ecuaciones de Maxwell para las ondas electromagnéticas, en las que, de hecho, ya aparecía la velocidad de la luz como una constante.

 

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Evento.png

Física IV

Definición de Evento

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Velocidad de la luz 2.png

Física IV

La Velocidad de la luz no cambia

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Física IV

Simultaneidad de eventos

Dos eventos simultáneos son dos eventos que ocurren en el mismo instante de tiempo.

Dos eventos pueden ser simultáneos para un observador y no serlo para otros.

Ejemplo

Supongamos que hay una plataforma con ruedas sobre la carretera, moviéndose con velocidad constante v. Y supongamos también que sobre ella hay un vagón sellado de tal forma que no se puede ver ni oír nada del exterior, pero pero que si se puede ver hacia adentro.

Ahora dentro del mismo hay una persona que realiza un experimento, que consiste en pararse justo a la mitad entre los extremos del vagón y encender una lamparita. Todo el conjunto del vagón con la persona y con su experimento se mueven con velocidad constante v respecto a tierra, solo que no se enteran.

Persona 1 dilatacion temporal.png

Para la persona que está dentro del vagón, los rayos van a tener que recorrer la misma distancia porque la lamparita está justo en el centro del vagón. Y como sabemos que la velocidad de la luz es constante, y ambos van a tener que recorrer la misma distancia, para la persona dentro del vagón ambos rayos llegan a las paredes al mismo tiempo.

Para la persona que está en tierra

Ahora veamos como se vería el experimento para una persona externa, que esta observándolo en tierra.

La persona que está en tierra va a haber que en un cierto tiempo inicial se enciende la bombilla.

Persona 2 dilatacion temporal a

Al igual que en todos los demás sistemas de referencia, la luz se va a mover para la persona externa con velocidad constante. Y un instante después de que la lampara se encienda, ambos rayos de luz habrán avanzado una cierta distancia desde el lugar donde se emitieron.

(Esto sucede de forma exactamente igual para todas las personas y sistemas de referencias ya que solo se debe a que la velocidad de la luz es siempre la misma en todos los sistemas de referencia.)

Lo que cambia es que, para la persona que está afuera, la plataforma se está moviendo. Entonces un cierto instante después de que se encienda la lamparita, la pared izquierda del vagón se movió hacia la derecha, con lo cual al rayo izquierdo le queda menos distancia por recorrer, y la pared derecha también se movió hacia la derecha, con lo cual al rayo de la derecha le queda más distancia que antes por recorrer.

Es decir que un cierto tiempo después uno de los rayos va a haber llegado a tocar la pared mientras que al otro todavía le va a faltar distancia por recorrer.Persona 2 dilatacion temporal b.png

Entonces, como los rayos tuvieron que ir desde donde surgieron originalmente (desde la posición inicial de la lamparita, en el instante en que se enciende), hasta las paredes que se están alejando o acercando, ambos recorrieron distintas distancias, y como todos los rayos de luz tienen la misma velocidad, para la persona que está en tierra los rayos tienen que haber llegado a las paredes del vagón en distinto tiempo.

Resumen

Lo importante, como la velocidad de la luz siempre es la misma, es ver que distancia tienen que recorrer los rayos para cada persona. Esto nos permite calcular si ambos rayos tocan las paredes al mismo tiempo o no.

En el primer caso, para el observador dentro del vagón, ambos rayos tenían que recorrer la misma distancia y por lo tanto llegaban a tocar las paredes al mismo tiempo.

Mientras que en el segundo caso para el observador externo, ambos rayos de luz tenían que recorrer distintas distancias, con lo cual para poder hacerlo a la misma velocidad, llegaban en diferentes tiempos.

Es decir que en este ejemplo para el primer observador los rayos llegaban de forma simultánea a la pared, mientras que para el observador externo no lo hacían.

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Velocidad de la luz.png

Física IV

Velocidad de la luz

Imagen
Física IV

Transformación de coordenadas en la mecánica clásica

Dados dos sistemas de referencia distintos, de los cuales en uno de ellos *que llamaremos sistema de referencia “O”* el cuerpo A se encuentra siempre en reposo, y de los cuales el otro sistema *que llamaremos sistema de referencia O’* coincide con el primer sistema de referencia en el momento inicial t = 0 pero a partir de allí se aleja de este con velocidad constante v respecto del primero, entonces si llamamos eje x al eje respecto al cual se mueven los sistemas de referencia, las coordenadas de posición x y x’ del cuerpo A en ambos sistemas de referencia tienen la siguiente relación

Transformacion de coordenadas.png

Es decir, que para un cierto tiempo determinado t, como la velocidad con que se aleja el segundo sistema de referencia es igual a la distancia d que se alejo del primero dividido por el tiempo t que transcurrió v = d/t, despejando la distancia entre los sistemas de referencias queda d = v*t.

Luego las coordenadas en los demás ejes no varían y como la diferencia en las coordenadas en el eje x y x’ de los distintos sistemas, es esa distancia d, entonces se cumple que x – x’ es igual a v*t.

Transformación de Galileo para las velocidades

Las velocidades en los distintos ejes se obtienen derivando la posición respecto al tiempo, entonces se cumple que

Transformacion de velocidades.png

Es decir que en la transformación galileana de las velocidades, las velocidades en los demás ejes permanecen iguales, y las velocidades en el eje x varían según la velocidad relativa entre los sistemas de referencia.

Aceleración del cuerpo

La aceleración es la segunda derivada de la posición, es decir que es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

Aceleracion del cuerpo en el sistema transformado.png

Luego la aceleración del cuerpo coincide en ambos sistemas de referencia para todas las componentes.

De ello se deduce que si un cuerpo tiene velocidad constante en un sistema (aceleración = 0), también la tiene en el otro.

Si el “momento lineal” o la cantidad de movimiento, se conserva en un sistema de referencia inercial, también lo hace en otro?

La cantidad de movimiento total en un sistema, es la suma de la cantidad de movimiento de cada uno de los cuerpos de lo componen. Para hallar la cantidad de movimiento de un cuerpo hay que multiplicar su masa por su velocidad.

Entonces si por ejemplo en un sistema hay dos cuerpos 1 y 2 cuyas velocidades antes del choque son u1 y u2, cuyas velocidades después del choque son U1 y U2, y cuyas masas son m1 y m2, para que la cantidad de movimiento se conserve en este sistema, se tiene que cumplir que

Cantidad de movimiento sistema 1

Haciendo la transformación galileana de las velocidades

aplicando transformacion velocidades conservacion cantidad movimiento

la ecuación queda

aplicando transformacion velocidades conservacion cantidad movimiento se conserva

Es decir que la cantidad de movimiento se conserva en el segundo sistema.

¿Cuándo se cumplen todas estas relaciones?

Todo esto se cumple siempre y cuando las velocidades relativas entre los sistemas de coordenadas no sean cercanas a la de la luz.

La física clásica también fracasa para explicar los procesos que ocurren a muy bajas temperaturas o a escalas muy pequeñas.

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Física IV

Movimientos relativos

Las características del movimiento de un cuerpo como la velocidad o posición del mismo, dependen de cual sea el sistema de referencia respecto al cual se observan. Es por eso que se dice que todos los movimientos son relativos.

Por ejemplo podemos decir que nosotros estamos quietos o en reposo dentro de una habitación, pero como a su vez la tierra se está moviendo en órbita alrededor del sol, visto desde una nave que este fuera de la tierra tanto la misma tierra como todo lo que está sobre ella (incluidos nosotros), estaremos en movimiento.

Es por esto que se dice que no tiene sentido hablar ni de movimiento absoluto ni de reposo absoluto, y que para que tenga sentido afirmar que estamos quietos o que nos estamos moviendo con una cierta velocidad, hace falta aclarar con respecto a que es el movimiento.

Relaciones entre las velocidades

La velocidad de un cuerpo también es relativa, es decir que también depende de cual sea el “observador” respecto al cual se miden las velocidades.

Algunos Ejemplos

Ejemplo 1

Por ejemplo supongamos que hay una persona que está en tierra y que hay un auto *que en el ejemplo sería el rojo* alejándose de ella con una cierta velocidad. Si además hay otro auto *que en el ejemplo sería el azul*, acercándose al rojo con una velocidad menor, entonces el auto azul percibiría que el auto rojo se aleja de el con una velocidad menor de la velocidad con que el auto rojo se aleja de la persona.

Ejemplo 1 velocidades relativas.png

Esto se debe a que cada vez que pasa una hora de tiempo el auto azul se aleja una cierta distancia de la persona en tierra *75 km en el ejemplo*, y el auto rojo se aleja una distancia mayor de la misma persona *100 km en el ejemplo*.

Entonces cada vez que pasa una hora de tiempo, el auto rojo se alejo del azul una cierta distancia *que es de 25 km en el ejemplo*.

Luego podemos decir que respecto al auto azul, el auto rojo se está alejando 25 km cada hora, es decir que “la velocidad del auto rojo relativa o respecto al auto azul” es de 25 km/h.

Y como el auto rojo se aleja de la persona 100 km por hora, “la velocidad relativa del auto rojo respecto a la persona en tierra” es de 100 km/h.

Vemos que ambas velocidades son distintas, por lo cual la magnitud de las velocidades dependen de que cual es el sistema que se toma como referencia.

Ejemplo 2

Otro ejemplo sería si hay dos personas sentadas dentro de un auto. Para una persona que está en tierra observándolas ambas se están moviendo con la misma velocidad. Sin embargo las dos personas están en reposo con respecto al auto.

Ejemplo  2 velocidades relativas.png

Es decir que ambas afirmaciones son ciertas, pero en distintos sistemas de referencia.

Ejemplo 3

Un tercer ejemplo podrían ser dos personas dentro de un camión, una en reposo dentro del mismo y otra caminando dentro del camión con una cierta velocidad. Como el camión a su vez también se esta moviendo, para la persona que está en tierra las dos personas que están dentro del camión tienen una cierta velocidad. Lo que va a observar la persona en tierra es que la persona que camina dentro del camión se mueve alejándose con una velocidad mayor de la que lo hace la otra persona.

Ejemplo 3 velocidades relativas.png

Es decir que las afirmaciones de las tres personas son ciertas, pero en distintos sistemas de referencia.

 

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Inecuación con módulo resuelta

Nos dan la siguiente inecuación

|x-4|+|x+6|>20

El primer paso para resolver es conseguir eliminar las barras de módulo. Para ello tenemos que saber cómo opera. En síntesis el módulo lo que hace es cambiar de signo poniendo un menos delante si lo que está dentro de el es negativo, y no hacer nada si lo que está dentro de él es positivo o cero. (Clickea el siguiente enlace Ecuaciones con módulo si quieres repasar el funcionamiento del módulo!)

En el ejercicio, lo que está dentro del primer módulo es negativo cuando x-4 es menor que 0 es decir cuando x<4, y lo que está dentro del segundo módulo es negativo cuando x+6 es menor que 0 es decir cuando x<-6.

Luego, podemos dividir en tres intervalos o casos.

I) Cuando x es mayor que 4 ninguno de los argumentos (lo que está dentro del módulo) es negativo, entonces los módulos no cambian el signo y puedo quitarlos, y la ecuación queda

x-4 +x+6 >20

Operando

2x +2 > 20 ==> 2x > 18 ==> x > 9

Recordando que estoy trabajando en el intervalo x > 4, me sirven todas estas soluciones

II) Cuando x está entre -6 y 4, como x no es menor que -6 el segundo módulo no cambia el signo, pero como x es menor que 4 el primer módulo si lo cambia, y la ecuación queda

– (x-4)+x+6 >20

Operando

-x + 4 + x+ 6 > 20 ==> 10 > 20

Esto nunca se cumple, luego ningún x en el intervalo (-6,4) es solución.

III) Cuando x es menor que -6, los argumentos de ambos módulos quedan negativos, por lo tanto ambos invierten el signo, y la ecuación queda

– (x-4) – (x+6) >20

Operando

-x + 4 -x -6 > 20 ==> -2x -2 > 20 ==> -2x > 22

Divido por -2 a ambos lados y se invierte la desigualdad porque divido por algo de signo negativo, luego

x < -11

Una manera de comprobar que se invierte, es primero pasar las -2x a la derecha (quedan 2x) y el 22 a la izquierda (queda -22)

-2x > 22 ==> -22 > 2x

Ahora paso dividiendo el dos

-11 > x

Me queda que -11 es mayor que x, es decir que x es menor que -11

Entonces de ambas formas obtuvimos x < -11 como solución. Como estamos en el intervalo x < -6, todas estas soluciones me sirven.

Juntando las soluciones de todos los intervalos, me sirven los x < -11 y los x > 9. Es decir que la solución son los x pertenecientes al intervalo (-∞,-11)U(9,+∞).

 

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Cálculo III

Ejercicios resueltos de Cálculo 3

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Física II

Problema de Acoplados

Considere el sistema simplificado de la figura que se basa en una molécula triatómica simétrica (por ejemplo, una molécula de CO2 que oscila a lo largo de su eje de simetría). En el equilibrio, dos átomos de masa m están situados a ambos lados del átomo de masa M=2m y vinculados por resortes de constante k y longitud natural lo. Como sólo estamos interesados en analizar los modos longitudinales:

Problema 4 de acoplados.png

  • a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de cada masa.
  • b) Halle las frecuencias de los modos normales.
  • c) Halle los modos normales y dibuje las configuraciones de cada modo.
  • d) Establezca cuáles deben ser las condiciones iniciales para excitar sólo el modo más alto (mayor frecuencia) y para excitar sólo el modo más bajo (menor frecuencia).

Resolución

Clickea aquí Movimiento oscilatorio de cuerpos acoplados para ver los pasos que se siguen en todos los ejercicios de acoplados!

Sistema de referencia

Voy a elegir un sistema de referencia distinto para cada cuerpo, y cada uno tendrá origen en sus respectivas posiciones de equilibrio.

Posiciones de equilibrio Sistema de referencia 2.png

Luego de ello voy a poner a oscilar el sistema, apartando a los cuerpos de sus posiciones de equilibrio una distancia genérica x. De esta manera voy a poder encontrar una relación entre las posiciones de los cuerpos para todo tiempo.

Dentro de todas las maneras que hay de poner a oscilar el sistema, voy a elegir aquella en que me sea más sencillo encontrar el módulo y sentido de las fuerzas elásticas.

Apartar los cuerpos de su posición de equilibrio

En este caso voy a desplazar los tres hacia la derecha, de tal manera que la distancia que aparte al cuerpo 1 de su posición de equilibrio (x1), sea menor que la distancia que el cuerpo 2 se aparta de su posición de equilibrio (x2), y de que está última sea menor que la distancia que el cuerpo 3 se aparta de su posición de equilibrio (x3).

Desplazado de la posicion de equilibrio.png

Entonces los tres resortes van a estar estirados, lo que me permite ver con más facilidad el sentido de todas las fuerzas elásticas ya que siempre van “a querer” acercar los cuerpos *para poder llevar el resorte a su longitud natural.

*Quito las lineas punteadas del diagrama ya que ya sabemos que el origen de cada coordenada se corresponde con la posición de equilibrio de cada cuerpo.

Fuerzas elasticas sistema de referencia resortes estirados diagrama cuerpo libre.jpg

Lo siguiente que habría que hacer es plantear la segunda ley de Newton para cada cuerpo, donde la suma de fuerzas aplicadas al mismo es igual a su masa por su aceleración.

Pero la manera más sencilla de plantear la suma de fuerzas de cada cuerpo, es calcular por un lado el módulo de cada una de las fuerzas elásticas, y después, sumar o restar esa cantidad en la ecuación de acuerdo al sentido de la fuerza (en mi sistema de referencia, sería positivo para las fuerzas que van hacia la derecha y negativo para aquellas que van hacia la izquierda).

Entonces antes de plantear la suma de fuerzas, cálculo el módulo de las fuerzas elásticas.

Módulo de las fuerzas elásticas

El módulo de la fuerza elástica es igual a la constante elástica del resorte por la distancia que se comprimió o estiro.

¿Cuánto se estiró cada resorte?

El primer resorte se estiró x2 cuando el cuerpo 2 se movió hacia la derecha una distancia x2, y luego de ello se comprimió x1 cuando el cuerpo 1 se movió hacia la derecha una distancia x1. En total, se estiró una distancia x2 – x1 *por ejemplo, si el resorte estaba en su longitud natural, y el cuerpo 2 se mueve 5 cm hacia la derecha y el cuerpo 1 se mueve 2 cm hacia la derecha ==> el resorte se va a haber estirado 5 cm – 2 cm = 3 cm.

De la misma forma, el segundo resorte se estiró x3 cuando el cuerpo 3 se movió una distancia x3 hacia la derecha, y se comprimió x2 cuando el cuerpo 2 se movió una distancia x2 hacia la derecha, con lo cual se estiró en total x3 – x2.

Entonces, la fuerza elástica del primer resorte (entre los cuerpos 1 y 2) es

Fe12 =  k(x2 – x1)

y la fuerza elástica del segundo resorte (entre los cuerpos 2 y 3) es

Fe23 = k(x3 – x2)

Suma de fuerzas para cada cuerpo

Ahora sí, planteo la segunda ley de Newton para cada uno de los cuerpos. La misma me dice que la suma de las fuerzas aplicadas al mismo es igual a su masa por su aceleración, entonces

Para el cuerpo 1

La única fuerza que está aplicada en el primer cuerpo es la del primer resorte Fe12. La misma va a tener un signo de + delante ya que va hacia la derecha, lo cual en mi sistema de referencia es positivo. Reemplazando por el valor de la fuerza elástica, la ecuación queda

Fe12 = m1*a1 ==> k(x2 – x1) = m1*a1

Para el cuerpo 2

Sobre el cuerpo 2 están actuando dos fuerzas. La del primer resorte Fe12 va a tener un signo de – delante ya que apunta hacia la izquierda, y la del segundo resorte Fe23 va a tener un signo + porque apunta hacia la derecha. Reemplazando por el valor de las fuerzas elásticas, la ecuación queda

Fe23 – Fe12 = m2*a2 ==> k(x3 – x2) – k(x2 – x1) = m2*a2

Para el cuerpo 3

La única fuerza que actúa sobre el tercer cuerpo es Fe23 y es hacia la izquierda, con lo que lleva un – delante. Reemplazando por el valor de la fuerza elástica, la ecuación queda

– Fe23 = m3*a3 ==> – k(x3 – x2) = m3*a3

Trabajando con las ecuaciones

Saco factor común k de todas ellas y paso las masas dividiendo para el primer término.

k/m1 (x2 – x1) = a1

k/m2 (x3 -2×2 + x1) = a2

– k/m3 (x3 – x2) = a3

Como la aceleración es la segunda derivada de la posición, queda

k/m1 (x2 – x1) = x1”

k/m2 (x3 -2×2 + x1) = x2”

– k/m3 (x3 – x2) = x3”

En la mayoría de los problemas se puede directamente reemplazar x1” por -x1w², x2” por -x2w² y x3” por -x3w² (finalmente es lo que hay que hacer en la resolución).

Si quieres saber de donde viene esto, puedes ver la resolución completa, sino puedes pasar al próximo paso.

Resolución completa

Estas ecuaciones diferenciales, en un segundo miembro tienen la aceleración del cuerpo que es la segunda derivada de su posición respecto al tiempo.

No son tan sencillas como las resueltas anteriormente, porque contienen (en una misma ecuación) las posiciones en función del tiempo de más de un cuerpo.

Entonces una de las manera de resolverlas es la siguiente.

Como sabemos que cada cuerpo va a describir un movimiento armónico simple, podemos proponer una solución para la posición en función del tiempo de cada cuerpo. Esta solución podría ser un seno o un coseno multiplicado por una amplitud. En este caso voy a proponer una solución compleja y luego me voy a quedar con su parte real que va a ser una función coseno.

Propongo una solución compleja

x1 = x10e^{i(wt+φ)}

x2 = x20e^{i(wt+φ)}

x3 = x30e^{i(wt+φ)}

*x10, x20, y x30 son las amplitudes del movimiento

Ahora voy a derivarlas dos veces

Para derivarlas

Cada vez que derivo la constante queda igual, y la derivada de la exponencial es ella misma por la derivada de lo que tiene en el exponente {i(wt+φ)} respecto al tiempo. Es decir que queda la amplitud y la misma exponencial, multiplicadas por la derivada de iwt + iφ respecto del tiempo que es iw

Solución x1 = x10e^{i(wt+φ)}

Su primer derivada x1′ = x10e^{i(wt+φ)} iw

Su segunda derivada x1” = x10e^{i(wt+φ)} iw*iw

Donde iw*iw = – w²

De igual forma todas ellas me quedan iguales y multiplicadas por -w²

x1” = x10e^{i(wt+φ)} (-w²)

x2” = x20e^{i(wt+φ)} (-w²)

x3” = x30e^{i(wt+φ)} (-w²)

Reemplazando todo en las ecuaciones

Ahora reemplazo todo en las ecuaciones

resolucion.jpg

Vemos que la exponencial aparece en todos los términos, con lo cual se cancela y queda

resolucion 2.jpg

Que es lo mismo que vamos a obtener cada vez, por lo cual en algunos problemas dejan que directamente reemplaces la segunda derivada por la solución multiplicada por -w².

Próximo paso

Luego de reemplazar las aceleraciones por las amplitudes multiplicadas por – w², hay que juntar los términos similares, es decir, dejar a un solo coeficiente multiplicando a x10, a x20 y a x30. También hay que escribir el sistema ordenado, es decir que el primer término que aparezca en cada ecuación debe ser el que contiene a la amplitud x10, el segundo debe ser el que contiene a la amplitud x20 y el tercero el que contiene a la amplitud x30, claro si es que no son cero.

resolucion 4.jpg

Escribir el sistema en forma matricial

El próximo paso es escribir el conjunto de ecuaciones de forma matricial. Es decir que voy a tener un vector con mis incógnitas que en este caso son las amplitudes x10, x20 y x30, multiplicado por una matriz que tendrá las constantes elásticas, masas, y demás coeficientes y todo este producto estará igualado a un vector con ceros ya que cada una de mis ecuaciones está igualada a cero

resolucion 5.jpg

Resolución del sistema

Una de las soluciones posibles es que tanto x10 como x20 y x30 sean cero. Pero esa solución no me sirve, ya que ello implicaría que las amplitudes de los movimientos de todos los cuerpos son cero. Entonces necesito que mi sistema tenga alguna solución más, distinta de esa.

Cuando un sistema está escrito de forma matricial, sabemos que la única manera de que el sistema no tenga una única solución es que el determinante de la matriz sea distinto de cero.

Igualamos a cero el determinante de la matriz para que la solución x10 = x20 = x30 no sea la única

Matriz y su determinante

Matriz con su determinante igualado a cero

Resolviendo el determinante y encontrando los posibles valores para w

Para resolver el determinante hay que multiplicar el primer coeficiente de la fila 1 *que sería – k/m1 + w²* por el determinante de la matriz que queda si quitamos la fila y la columna que contienen a este coeficiente. Después hay que restarle el segundo coeficiente de la fila 1 *que sería k/m1* multiplicado por el determinante de la matriz que queda si quitamos la fila y la columna que contienen a ese coeficiente. Y por último hay que sumar el tercer coeficiente de la primer fila *que sería 0* multiplicado por la matriz que queda si quitamos a la fila y a la columna que lo contienen.

determinante matriz.png

Luego, para calcular cada uno de los determinantes de 2×2, podemos multiplicar los términos en diagonal *el de arriba a la izquierda con el de abajo a la derecha* y restarle la multiplicación de los otros dos términos que están en diagonal *el de arriba a la derecha con el de abajo a la izquierda

determinante en ecuaciones.png

Quitando los términos que son cero y escribiendo k*k como k²

determinante en ecuaciones 10

Ahora uso los datos sobre las masas, que me dicen que las masas de los cuerpos 1 y 3 valen lo mismo (m1 = m3 = m), y que la del cuerpo 2 vale el doble (m2 = 2m)

determinante en ecuaciones 4

Escribiendo m*m como m², y cancelando los “2” que aparecen multiplicando y dividiendo

determinante en ecuaciones 7.png

Saco de factor común el término – k/m + w²

determinante en ecuaciones 11

Luego una de las posibles maneras de que la ecuación se cumpla y de que la multiplicación sea igual a cero, es que el primero de los términos sea igual a cero

Primer solucion.png

Vemos que aquí aparece que uno de los valores posibles para la frecuencia para que el sistema oscile en un modo normal es w = raíz de k/m.

Otras de las posibles maneras en que la ecuación vale cero es si el término entre llaves rojas vale cero

determinante en ecuaciones 12

Juntando los dos últimos términos

determinante en ecuaciones 13.png

Distribuyendo los paréntesis y ordenando

determinante en ecuaciones 15.png

Sacando de factor común la frecuencia al cuadrado

determinante en ecuaciones 16.png

Vemos que una de las dos maneras en que la ecuación se hace cero, es cuando la frecuencia al cuadrado vale cero

Segunda solucion.png

Entonces en uno de los modos normales, no hay oscilación.

La otra forma de que la ecuación valga cero, es que el segundo término sea cero

Tercera solucion.png

Entonces hemos encontrado tres valores de frecuencia que hacen que el sistema oscile con un modo normal (es decir tres valores de frecuencia para los cuales cada uno de los cuerpos oscila con la misma frecuencia).

Para cada uno de estos tres modos de oscilar del sistema, podemos encontrar una relación entre las amplitudes de oscilación de los cuerpos. Para ello podemos reemplazar uno a uno los valores de frecuencia en el sistema de ecuaciones que describe al sistema.

Encontrando la relación entre las amplitudes

Las ecuaciones que describen al sistema, escritas en forma matricial, son las siguientes

matriz 1.png

Reemplazando por lo que vale cada una de las masas (m1 = m3 = m y m2 = 2m)

matriz 2

Para resolver el sistema se escribe de la siguiente forma, aunque yo ya sé cuales son las incógnitas

matriz 3

Para w = 0

matriz 4

Multiplicando todas las filas y columnas de la matriz por m/k y operando con la matriz

matricial.png

Luego, las relaciones que encontré para las amplitudes (según los renglones 1 y 3 de la matriz) son las siguientes

Amplitudes de los modos normales

Es decir, que todos los cuerpos siempre “oscilan” con la misma amplitud. Esto tiene sentido ya que la frecuencia de este modo normal es cero, es una de las maneras que tienen los cuerpos de “oscilar” con la misma frecuencia (nula, es decir de no oscilar), que corresponde a cuando los tres se desplazan hacia el mismo lado con la misma velocidad.

Diagrama de este modo normal

Modo Normal con frecuencia igual a cero para tres cuerpos acoplados

Para w = raízde{k/m}

Reemplazamos en la matriz que w² vale k/m. Ordenamos la matriz y multiplicamos todo (cada fila y columna por m/k)

matricial relacion amplitudes 2

Operando en la matriz (restandole a la fila 1 la fila 3 y multiplicando la segunda fila por 2) llegamos a

matricial relacion amplitudes 3

Luego encontramos la siguiente relación entre las amplitudes

matricial relacion amplitudes 4.png

En este modo normal el cuerpo del medio está en reposo y los otros dos oscilan con la misma frecuencia pero en desfasaje.

Diagrama de este modo normal

segundo Modo Normal para tres cuerpos acoplados

Para w = raízde{2k/m}

Reemplazamos en la matriz que w² vale 2k/m. Ordenamos la matriz y multiplicamos todo (cada fila y columna por m/k)

matricial relacion amplitudes 40

Operando con la matriz

matricial relacion amplitudes 41

Queda la siguiente relación entre las amplitudes

matricial relacion amplitudes 42

En este modo normal los dos cuerpos de los extremos oscilan en fase, y el cuerpo del medio oscila con la misma frecuencia pero en contrafase con ellos.

Diagrama de este modo normal

Modo normal tres cuerpos

Ecuaciones de movimiento

Por el teorema de Fourier, la posición en función del tiempo de cada cuerpo se puede escribir como la suma de las posiciones en función del tiempo de los cuerpos en sus modos normales

Entonces, si al primer subindice de la amplitud corresponde a los cuerpos 1,2 o 3 y al segundo subindice el modo normal de oscilación, entoncesmodos normales

donde los primeros términos en la posición en función del tiempo de cada cuerpo son las posiciones en función del tiempo de los mismos en el modo normal con frecuencia igual a raíz de k/m; y los segundos términos en la posición en función del tiempo de cada cuerpo son las posiciones de función del tiempo en el otro modo normal, de frecuencia igual a raíz de 2k/m.

Si reemplazo la relación entre las amplitudes, obtengo las ecuaciones para el movimiento de los cuerpossoluciones.png

Condiciones iniciales para excitar solo el modo de mayor frecuencia

El modo de mayor frecuencia es el que tiene una frecuencia igual a raíz de k/m. Para que el sistema oscile con este modo normal, con todos los cuerpos en reposo al primer cuerpo hay que darle una cierta amplitud inicial, al tercer cuerpo una amplitud inicial hacia el lado opuesto y de la misma magnitud, y al segundo cuerpo hay que dejarlo donde esta.

De esta manera los cuerpos de los extremos comenzarán a oscilar en contrafase, y el cuerpo del medio permanecerá en reposo.

Condiciones iniciales para excitar solo el modo de menor frecuencia

El modo de menor frecuencia es el que tiene una frecuencia igual a raíz de 2k/m. Para que el sistema oscile con este modo normal, con todos los cuerpos en reposo al primer cuerpo hay que darle una cierta amplitud inicial, al tercer cuerpo la misma *hacia el mismo lado*, y al segundo cuerpo también la misma pero en sentido contrario al de estos dos.

De esta manera los cuerpos de los extremos comenzarán a oscilar en fase, y el del medio en contrafase con ellos.

¿Cómo es que si aparto a los tres cuerpos la misma distancia de su posición de equilibrio, el del medio consigue oscilar en contrafase con los otros que son dos?

La razón es que el cuerpo del medio tiene el doble de masa que los demás.

 

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Introducción al Análisis Matemático

Hallar el dominio de las siguientes funciones

Las funciones son las siguientes

funciones.png

Resolución

Me piden hallar el dominio de varias funciones. Sabemos que el domino son aquellos valores de x que tienen imagen en la función, es decir en los cuales puedo evaluarla y obtener un número.

También sabemos que para que un valor tenga imagen en una función, al “evaluarlo” es decir reemplazarlo en la expresión de la misma, todas las operaciones se deben poder realizar y no deben quedar indeterminaciones.

Entonces hay que checkear en cada una de las expresiones cuales son los valores de x con los cuales se puede operar, y esos serán los valores del dominio.

Restricciones en las operaciones

Hay tres restricciones para las operaciones que se pueden realizar en el conjunto de los números reales: no se pueden hacer raíces (de índice par) de números negativos, logaritmos de números negativos, ni divisiones por cero.

(clickea el siguiente enlace Dominio de una función si quieres saber más sobre el tema)

Como en ninguna de las funciones aparecen logaritmos lo único que tengo que checkear que se cumpla es que el argumento de las raíces de índice par sea positivo o cero y que los denominadores sean distintos de cero.

Para a(x) = raízde{3x-1}

No aparecen denominadores, la única restricción es que lo que está dentro de la raíz tiene que ser positivo o cero, entonces

dominio 1

x tiene que ser mayor o igual que un tercio.

Verificamos con un gráfico

grafico 1.png

Grafico de a(x)

Vemos que la función tiene imagen para los valores de x mayores o iguales a 1/3.

Para b(x) = x²+1 / x+2

No hay raíces. Falta ver que para que no hallan indeterminaciones el denominador tiene que ser distinto de cero, entonces

dominio 2

el dominio de x son todos los valores reales menos el -2.

Verifico con un gráfico

grafico 2.png

Gráfico de b(x)

Vemos como la función tiene imagen para todos los valores de x menos para x = -2.

Para c(x) = 2 – x/raízde{x}

El denominador tiene que ser distinto de cero. El único valor que tiene raíz igual a cero es x = 0, entonces para que el denominador sea distinto de cero basta que x sea distinto de cero.

Además, el argumento de la raíz tiene que ser positivo o cero. Como el argumento de la raíz es x, entonces x tiene que ser positivo o cero.

Juntando ambas condiciones, los valores de x para los cuales la función está definida, son los reales positivos (para que la raíz este definida) sin incluir al cero (ya que en x = 0 el cociente no está definido).

Verificamos con un gráfico

grafico 3.png

Gráfico de c(x)

Vemos como los valores de x que tienen imagen son solo los positivos.

Para d(x) = -x + raízde{x+2}

No hay denominadores. El argumento de la raíz tiene que ser positivo o cero, entonces los valores de x que pertenecen al dominio son los mayores o iguales a -2.

Verificamos con un gráfico

grafico 4

Gráfico de d(x)

Vemos que los únicos valores de x que tienen imagen son los mayores o iguales a -2.

Para e(x) = (x+1) / (-x + raízde{x+2})

El argumento de la raíz tiene que ser positivo o cero, entonces

dominio 5a.png

Además, el denominador tiene que ser distinto de cero. Los valores de x que hacen que el denominador valga cero son

dominio 5b.png

*recordar que las soluciones que aparecen al elevar al cuadrado pueden no ser solución, así que siempre hay que checkearlas!

Luego, los valores de x que pertenecen al dominio son aquellos mayores a -2 y distintos del número 2.

Esto tiene sentido ya que la función es como (x+1) / d(x). Entonces se le suma al hecho de que el denominador d(x) tiene que ser distinto de cero *y entonces x distinto de 2*, a la condición que ya se cumplía desde antes de que x tenía que ser mayor o igual a -2 para no tener raíz de algo negativo.

Verificamos con un gráfico

grafico 5.png

Gráfico de e(x)

Vemos como los valores de x que tienen imagen son los mayores o iguales a -2, pero distintos de 2.

Para f(x) = (x-2) / (-x + raízde{x+2})

Esta función tiene el mismo dominio que la anterior e(x), ya que tiene el mismo denominador (y por lo tanto los mismos valores de x lo anulan), y tiene la misma raíz (y por lo tanto el mismo argumento y los mismos valores de x lo hacen mayor o igual a cero).

Verificamos con un gráfico

grafico 6.png

Gráfico de f(x)

Nuevamente los valores de x que tienen imagen son los mayores o iguales a -2, pero distintos de 2.

Para g(x) = (x³ – 1) / raízde{x²-x-2}

En el denominador hay un raíz. Para que el denominador sea distinta de cero, la raíz tiene que ser distinta de cero, y por lo tanto también su argumento. Además, por ser una raíz, no puede tener argumentos negativos, entonces x²-x-2 tiene que ser mayor o igual que cero.

Los valores donde es exactamente cero ya los habíamos encontrado cuando trabajamos con la función e(x) y eran -1 y 2. Como el coeficiente que acompaña a x² es mayor que cero, la cuadrática tiene concavidad positiva, lo cual quiere decir que comienza decreciendo, llega hasta el vértice y a partir de ahí vuelve a crecer.

parabola.png

Argumento de la raíz del denominador

Entonces es positiva para los x que están fuera del intervalo entre -1 y 2.

Luego el dominio son los valores de x que están entre menos infinito y -1, y los que están entre 2 y más infinito.

Verificamos con un gráfico

grafico 7.png

Gráfico de g(x)

Vemos como los valores del dominio son los únicos que tienen imagen.

Para h(x) = (x³ + 8) / raízde{x²-x-2}

Como esta función tiene el mismo denominador y las mismas raíces que la anterior, entonces tiene el mismo dominio entre menos infinito y -1, y entre 2 y más infinito.

Verificamos con un gráfico

grafico 8.png

Gráfico de h(x)

Vemos que los valores que tienen imagen son los mismos que los del ejercicio anterior.

Para i(x) = x / (1 +x³)

No hay raíces. El denominador tiene que ser distinto de cero, entonces

dominio 9

Luego el dominio son todos los valores de x menos el -1.

Verificamos con un gráfico

grafico 9.png

Gráfico de i(x)

Vemos como el único valor de x que no tiene imagen es x = -1.

Para j(x) = (x² – 1) / (raízde{x+8} – 3)

Como la raíz tiene que tener un argumento positivo o cero

11.png

y como el denominador tiene que ser distinto de cero

12.png

Verificamos esto con un gráfico

grafico 11.png

Gráfico de j(x)

¿Qué ocurrió en x = 1?

Para trabajar apropiadamente con esta función conviene comenzar por eliminar las raíces del denominador. Para ello multiplico nominador y denominador por el conjugado del término que está en el denominador, es decir que multiplico por raízde{x+8} + 3

dom1

Ahora reescribo el primer término x² – 1 como un producto de x+1 por x-1

dom12

y vemos como la función queda simplificada, por lo cual ya no queda una indeterminación en x = 1.

Para k(x) = (x² – 4) / (raízde{x+8} – 3)

Como esta función tiene el mismo denominador y raíces que la anterior, también tiene el mismo dominio.

Verificamos esto con un gráfico

grafico 10.png

Gráfico de k(x)

Vemos que los valores de x que tienen imagen en esta función son los mismos que los valores de x que tenían imagen en el gráfico anterior, x es mayor o igual a -8 y distinto de 1.

¿Por qué ahora si la función no tiene imagen en x = 1?

Si trabajamos con la función igual que con j(x)

dom123.png

Vemos que el denominador no se cancela, y por eso es que aún sigue siendo una indeterminación evaluar la función en x = 1, con lo cual 1 no tiene imagen en k(x), pero si en j(x).

Cuadro resumen

dominios de las funciones escritos como intervalos.png

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Algebra I

Problema 1 de primer parcial Algebra 1 07/09/2015 – tema 1

Sean el plano π: x + 2y – 2z = 1 y los puntos A = (1,1,1) y B =  (3,2,3)

  • Verificar que A y B pertenecen al plano
  • Hallar la recta L que pasa por A y tal que L este contenida en el plano π y sea perpendicular a la recta Lab que pasa por A y por B.
  • Hallar todos los puntos C y D en el plano π tales que ABCD es un cuadrado.

Resolución

Verificar que los puntos pertenezcan al plano.

Para ello, solo hay que reemplazar por las coordenadas (x,y,z) del punto en la ecuación del plano y verificar que se cumpla.

Para el punto A (1,1,1) = (x,y,z) la ecuación queda

1 + 2*1 – 2*1 = 1  ==>  1 + 2 – 2 = 1  ==>  1=1

Para el punto B (3,2,3) = (x,y,z) la ecuación queda

3 + 2*2 – 2*3 = 1  ==>  3 + 4 – 6 = 1  ==>  1=1

Las coordenadas de ambos puntos verifican la ecuación del plano entonces ambos pertenecen al mismo.

Condiciones que tiene que cumplir la recta L

Condición 1 La recta L tiene que pasar por el punto A, entonces con elegir este como punto de paso es suficiente.

Por ahora la recta sabemos que tiene la forma

L: (x,y,z) = λv + A

si la escribimos de forma paramétrica.

(clickea el siguiente enlace Ecuación parametrizada de una recta si quieres saber más sobre el tema!)

Condición 2 La recta tiene que ser perpendicular a la recta que pasa por A y por B. Para que se cumpla esto, basta que los vectores directores de ambas rectas sean perpendiculares entre sí.

Encuentro el vector director de la recta Lab

Para encontrar el vector director de una recta, basta con restar dos de sus puntos ya que el vector que surge de restar dos puntos está en la dirección de los mismos.

(clickea el siguiente enlace Resta de vectores si quieres repasarlo!)

Entonces uno de los posibles vectores directores para la recta Lab (recordar que me sirven cualquiera de sus múltiplos para indicar dirección), es el que surge de restar B-A.

Entonces, el vector director va a ser

v(Lab) = B – A = (3,2,3) – (1,1,1) = (2,1,2)

Condición 3 La recta tiene que estar contenida en el plano. Lo primero que hay que checkear para que esto pase es que el punto A este contenido en el plano.

Checkear que el punto A este contenido en el plano

Para checkear esto reemplazo los valores de sus coordenadas (x,y,z) = (1,1,1) en la ecuación del plano

1 + 2*1 – 2*1 = 1 ==> 1 = 1

y como se cumple la igualdad comprobamos que si lo esta.

Recta contenida en el plano

Una de las maneras de garantizar que la recta este contenida en el plano, es que la misma sea perpendicular a su recta normal. La explicación de ello, es que si la recta está contenida en el plano, claramente tiene que ser perpendicular a todo lo que sea perpendicular a él. Un ejemplo

Normal del plano perpendicular recta.png

Encuentro la normal del plano

Entonces, hay que encontrar la normal del plano x + 2y – 2z = 1. Cuando el plano está escrito de esta forma, los coeficientes que acompañan a x, y, z son las componentes de la normal, ya que si la normal es N = (N1,N2,N3), y P = (P1,P2,P3) es un punto de paso del mismo, una de las maneras posibles de escribir la ecuación del plano es

(N1,N2,N3)(x,y,z) = (N1,N2,N3)(P1,P2,P3)

Donde realizando los productos escalares queda

N1x +N2y + N3z = N1P1 + N2P2 + N3P3

por analogía queda que la normal del plano es

N = (N1,N2,N3) = (1,2,-2)

Encuentro el vector director de la recta L!

Como v, el vector director de la recta L, es perpendicular a v(Lab), el vector director de la recta que pasa por A y por B, entonces el producto escalar entre ellos debe dar cero.

< v(2,1,2) > = 0

Y como v es perpendicular a la normal del plano N, también debe dar cero el producto escalar entre ellos

< v(1,2,-2) > = 0

A partir de aquí hay dos maneras de resolución. Una de ellas es reemplazar v por sus tres componente v1, v2 y v3 y hacer los productos escalares. Operando llegaremos (como son dos ecuaciones con tres incógnitas), a poder expresar a las tres componentes en función de una de ellas.

Otra de las maneras, es decir que si un vector es perpendicular a otros dos, entonces es el resultado de hacer el producto cruz entre ellos.

De ambas formas llegaremos a lo mismo.

Haciendo los productos escalares

Escribo v con tres componentes v1, v2 y v3 para poder hacer el producto escalar.

 Ya que el vector director de la recta es perpendicular a la recta que pasa por A y por B, y por lo tanto a su vector director, se cumple que

< (v1,v2,v3)(2,1,2) > = 0

Luego

2v1 + v2 + 2v3 = 0

Como la recta está contenida en el plano, y por lo tanto es perpendicular a su recta normal

< (v1,v2,v3)(1,2,-2) > = 0

Luego

v1 + 2v2 -2v3 = 0

Como son dos ecuaciones y hay tres variables solo voy a poder despejar las tres en función de una de ellas.

Despejo v1 de la ecuación 2

v1 = -2v2 + 2v3

Reemplazo en la ecuación 1 y despejo v3

2{-2v2 + 2v3} + v2 + 2v3 = 0  ==>  -3v2 + 6v3 = 0 ==> v2 = 2v3

Reemplazando en la expresión para v1

v1 = -2{2v3} +2v3  ==>  v1 = -2v3

Luego, el vector director de la recta queda

(-2v3, 2v3,v3) = v2 (-2,2,1)

Haciendo el producto cruz

Hacer el producto cruz es lo mismo que hacer el siguiente determinante, donde i,j,k son las tres componentes

determinante producto cruz.png

De cualquiera de las dos formas, la ecuación de la recta queda: los múltiplos del vector (-2,2,1) más el punto de paso A.

L = λ(-2,2,1) + (1,1,1)

Verifico

El punto A = (1,1,1) está en la recta, es al que le corresponde λ = 0

La recta L es perpendicular a la recta Lab ya que sus vectores directores son perpendiculares

< (-2,2,1)(2,1,2) > = -4 +2 + 2 = 0

La recta L está contenida en el plano ya que es perpendicular a la normal del mismo

< (-2,2,1)(1,2,-2) > = -2 + 4 – 2 = 0

Grafico.png

Gráfico de la solución, realizado en geogebra

Hallar todos los puntos C y D en el plano π tales que ABCD es un cuadrado.

Quiero encontrar dos puntos más en el plano que formen un cuadrado ABCD. Tengo dos puntos (A y B), por lo cual tengo dos cuadrados posibles en el plano.

Lo que nos conviene buscar primero es las rectas que pasan por los puntos B y C (Lbc), y por los puntos A y D (Lad), ya que hay uno de sus puntos que ya conocemos. Estas dos son paralelas entre sí, y además, como son perpendiculares a la recta Lab y están contenidas en el plano, son paralelas o están sobre la recta L que encontramos anteriormente.

Entonces, el vector director de ambas rectas es (-2,2,1), y con sus puntos de paso las rectas son

Lbc = λ(-2,2,1) + (3,2,3)

Lad = λ(-2,2,1) + (1,1,1)

ya que la recta Lbc pasar por el punto B = (3,2,3) y la recta Lad pasa por el punto A = (1,1,1).

Como el punto C pertenece a la recta Lbc, se puede escribir como

C = (-2λ+3, 2λ+2, λ+3)

Y como el punto D pertenece a la recta Lad, se puede escribir como

D = (-2λ+1, 2λ+1, λ+1)

Se tiene que cumplir que la medida del lado AB (o lo que es lo mismo, la distancia entre A y B, sea igual a la distancia entre B y C, a la distancia entre C y D y a la distancia entre A y D.

||AB|| = ||BC|| = ||CD|| = ||AD||

Hallo la distancia entre A y B

||AB||= raízde{(3-1)² + (2-1)² + (3-1)²} = raízde{4+1+4} = 3

(clickea el siguiente enlace 2 formas de saber la distancia entre dos puntos! si quieres repasar el tema!)

Hallo la distancia entre B y C, con C expresado en función del parámetro λ, y la igualo a 3

||BC||= raízde{(3-{-2λ+3})² + (2-{2λ+2})² + (3-{λ+3})²} = raízde{(2λ)² +(-2λ)² + (λ)²}

= raízde{9λ²} = 3|λ|= ||AB|| = 3

Luego λ = 1 ó λ  = -1.

Para estos dos valores de λ me quedan dos valores posibles para C, que corresponden a los dos cuadrados distintos que se pueden formar sobre el plano

C = (-2*1+3, 2*1+2, 1+3) = (1,4,4), si λ = 1

C = (-2*(-1)+3, 2*(-1)+2, (-1)+3) = (5,0,2), si λ = -1

Ahora hallo la distancia entre A y D, con D expresado en función del parámetro λ, y también debe valer 3

||AD||= raízde{(1-{-2λ+1})² + (1-{2λ+1})² + (1-{λ+1})²} = raízde{(2λ)² +(-2λ)² + (-λ)²}

= raízde{9λ²} = 3|λ|= ||AB|| = 3

Luego λ = 1 ó λ  = -1.

Para estos dos valores de λ me quedan dos valores posibles para D, que corresponden a los dos cuadrados distintos que se pueden formar sobre el plano

D = (-2*1+1, 2*1+1, 1+1) = (-1,3,2), si λ = 1

D = (-2*(-1)+1, 2*(-1)+1, -1+1) = (3,-1,0), si λ = -1

Entonces hay dos conjuntos de puntos que nos sirven

C = (1,4,4) y D = (-1,3,2)

C = (5,0,2) y D = (3,-1,0)

Verificamos que la distancia entre ellos sea 3

||CD||= raízde{ (1-(-1))² + (4-3)² + (4-2)²} = raízde{4+1+4} = raízde{9} = 3

||CD||= raízde{ (5-(3))² + (0-(-1))² + (2-0)²} = raízde{4+1+4} = raízde{9} = 3

Gráfico de las soluciones

Grafico de la solucion.png

Gráfico de la solución, realizado en geogebra

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Algebra I

Ecuación parametrizada de una recta

Todas las rectas las podemos armar como un punto de paso (llamemosle P), más cualquier múltiplo del vector director de esa recta.

R: (x,y,z,..) = λv + P

¿Por qué decimos que es “parametrizada”?

Esta sería la forma parametrizada de escribirla porque estamos poniendo a las coordenadas cartesianas de los puntos que pertenecen a la recta (x, y, z, … ) en función de un cierto parámetro (que en este caso llame λ).

R: (x(λ),y(λ),z(λ),..) = λv + P

Es decir, es la forma parametrizada porque las coordenadas cartesianas de los puntos x, y, z, etc son funciones del valor que le de a este parámetro, ya que conocidos el vector director de la recta y su punto de paso, cada valor de λ se va a corresponder con un punto de la recta.

Punto de paso

Al punto P que aparece sumando se lo conoce como punto de paso, porque si o si pertenece a la recta. Esto se debe a que los puntos que pertenecen a la recta son todos los que surgen de darle valores a λ, y si lo hacemos valer cero entonces nos queda el punto (x,y,z,..) = P.

Vector director de la recta

El vector director es el que indica en que dirección tiene que ir la recta. Se puede hallar restando dos puntos cualquiera de la misma, y no tiene porque pertenecer a la recta! de hecho la mayoría de las veces no pertenece.

Además, pueden haber muchos “vectores directores” que me sirvan para indicar la dirección de la recta, de hecho hay infinitos posibles ya que a no ser que me aclaren otra cosa, no me importa su módulo solo su sentido, y hay infinitos vectores en una dirección.

Ejemplo

Por ejemplo, si estamos en el plano, y el vector director es el vector v = (3,2) y el punto de paso es P = (5,-1) la ecuación de la recta sería

R: (x,y) = λ(3,2) + (5,-1)

donde λ puede tomar cualquier valor real.

Dándole a λ el valor cero, vemos que el punto de paso P = (5,-1) pertenece a la recta.

En el ejemplo, podemos elegir P = (5,-1) que surge de darle a λ un valor de cero, y podemos elegir (2,-3) que surge de darle un valor a λ igual a -1. Al restarlos queda (5,-1) – (2,-3) = (3,2) que es el vector director y podemos ver que no está en la recta.

Además, el vector director nos da la siguiente información sobre la dirección de la recta “cada vez que me muevo tres unidades en el eje x hacia la derecha, subo 2 unidades en el eje y”. Lo cual podemos observar que se cumple en el gráfico.

Podemos ver que también me serviría como vector director el (6,4), el (-3,-2) o cualquier otro múltiplo del vector (3,2), ya que respectivamente estarían diciendo que “si me desplazo 6 unidades a la derecha, entonces me muevo 4 hacia arriba”, o que “si voy tres unidades hacia la izquierda entonces debo ir dos hacia abajo”, etc, y cualquiera de esas afirmaciones me indica bien la dirección.

Gráfico del ejemplo

Recta5.png

Gráfico de una recta en el plano a partir de sus ecuaciones parametricas

*Le di valores al parámetro entre -10 y 20 porque me pedía un intervalo y solo necesitaba una parte de la recta, pero t puede tomar cualquier valor.

¿Por qué se puede encontrar al vector director restando dos puntos que pertenezcan a la recta?

Porque el vector que surge de restar otros dos es el que los une. Entonces, si resto dos puntos de la recta voy a obtener un vector en su misma dirección.

(Clickea el siguiente enlace Resta de vectores si quieres repasar el tema!)

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Algebra II

Problema 1 de primer parcial Algebra 2 28/04/16 – tema 2

Se quiere ajustar la función g(x) = c1 + c2x³ a los datos de la tabla por el método de cuadrados mínimos. A partir de las ecuaciones g(xi) = yi para i = 1, 2, 3, plantear el sistema Ac = y. Deducir las ecuaciones normales. Resolverlas para obtener c*. Graficar c1*x + c2*x³ y los datos de la tabla. Calcular el error y – Ac*.

x   – 2   1   2

y   – 0,7  1,6  0,9

Resolución

Se quiere ajustar a los datos por g(x). Entonces esta función tiene que pasar por los tres puntos, luego los tres tienen que cumplir la ecuación c1x + c2x³

 

g(-2) = c1 + c2{-2}³ = – 0,7

g(1) = c1 + c2{1}³ = 1,6

g(2) = c1 + c2{2}³ = 0,9

Escribiendo las tres ecuaciones como matriz con mis dos incógnitas que son c1 y c2

matriz.png

observo que el sistema no tiene solución, ya que Y no es combinación lineal de las columnas de la matriz A.  Un ejemplo de ello es que si sumo la primer y la tercer ecuación, me queda que 0c1 + 0c2 es igual a – 0,7 + 0,9, es decir que 0 es igual a 0,2, lo cual no es cierto.

Entonces no hay valores de c1 y c2 que verifiquen estas tres ecuaciones. Es decir que no hay ningún valor de c1 y c2 que multiplicados por la matriz A den como resultado el vector Y.

Buscando una solución aproximada.

Entonces voy a “inventar” un nuevo sistema de ecuaciones que si tenga solución. Las incógnitas ya no van a ser c1 y c2, así que las voy a llamar c1* y c2*. El vector que voy a obtener al multiplicar la matriz A (que no cambia porque a la función la voy a evaluar en los mismos valores de x), por mis nuevas incógnitas, va a ser muy parecido a Y, y lo voy a llamar Q.

Entonces queda que

Ac* = Q

Para que este nuevo sistema si tenga solución, necesito que Q si sea combinación lineal de las columnas de A. Por ejemplo me serviría que Q fuera -10, 2, 10 ya que con c1 = 1 y c2 = 1 tendría una solución, también me serviría que Q fuera 0, -3, 0 ya que con c1 = -4 y c2 = 1 tendría una solución, así me serviría cualquier valor de Q tal que Q = c1A1 + C2A2, que es lo que se conoce como combinaciones lineales de A1 y A2, las columnas de A.

Eso solamente para que el sistema tenga solución. Pero además necesito que Q sea lo más cercano posible a Y, para poder ajustar mi función lo mejor posible. Como ya sabemos que Q está dentro del subespacio que se forma con todas las combinaciones lineales posibles de las columnas A1 y A2, lo único que falta es encontrar el punto Q dentro de este subespacio que sea el más cercano al punto Y. Entonces pido que Q sea la proyección de Y en el subespacio de las columnas de A.

Q = Pcol(A)Yproyeccion cuadrados minimos.png

Como Q es la proyección de Y sobre el subespacio Col(A), entonces el vector Y-Q  es perpendicular tanto a A1 como a A2 (las columnas de A).

Cuando dos vectores son perpendiculares, el “producto punto” entre ellos es cero. Es decir que

< Y-Q , A1 > = 0

< Y-Q , A2 > = 0

Resolver este sistema de ecuaciones, es lo mismo que resolver la siguiente matriz

matriz2.png

donde A1t y A2t son los vectores columna de la matriz A pero transpuestos, de tal manera que hacer el producto tenga sentido.

Distribuyendo

Ecuacion

Reemplazando que Q = Ac* queda queEcuacion2

Ahora reemplazo los valores correspondientes a la matriz A, a la matriz A transpuesta y al vector Y. Al operar en esta matriz voy a despejar los valores c1* y c2*

Operando con las matrices

Para multiplicar la matriz At por el vector Y

Al multiplicar la matriz de 2x3 por el vector de 3x1, obtengo un vector de 2x1. Para obtener la primer componente del resultado multiplique la fila 1 de la matriz At por el vector Y, y para obtener la segunda componente multiplique la fila 2 por el vector Y.

Para multiplicar la matriz At por la matriz A

Al multiplicar la matriz de 2x3 por la matriz de 3x2, obtengo un vector de 2x2, es decir que obtengo 4 componentes, para los cuales voy multiplicando fila 1 y columna 1, fila 1 y columna 2, fila 2 y columna 1 y fila 2 y columna 2 (las filas son de la primer matriz y las columnas de la segunda).

Para multiplicar los vectores (producto escalar)

En ambos casos para hacer el producto entre vectores, voy sumando la multiplicación del primer componente del primer vector por el primer componente del segundo, más la multiplicación del segundo componente del primer vector por el segundo componente del segundo, y así voy sumando las multiplicaciones componente a componente.

Ecuacion5.png

Haciendo las cuentas quedaEcuacion6

Ahora hay que resolver el sistema

Resolviendo el sistema 

Ecuacion7.png

Luego c1* = 2, c2* = – 0,4

Respuesta

Verifico

Lo primero que tengo que verificar es que Y – Q sea efectivamente un vector perpendicular tanto a A1 como a A2. Lo segundo es verificar que Q pertenece a Col (A) *que es el subespacio formado por todas los vectores que surgen de combinaciones lineales de las columnas de la matriz A*.

Como Q = Ac*

proyeccion cuadrados minimos2

Luego Y – Q es igual a

proyeccion cuadrados minimos3

Para que este vector sea perpendicular a A1 y a A2, el producto punto con cada uno de ellos debe dar cero.

proyeccion cuadrados minimos4

Vemos que efectivamente, Y – Q es perpendicular a A1 y a A2, ya que el producto punto con cada uno dio cero, luego Y – Q es perpendicular a Col (A).

Volviendo hacia atrás, si multiplico A1 por 2 ( que es el valor de c1*), y le sumo la multiplicación de A2 por -0,4 ( que es el valor de c2*), obtengo a Q. Entonces Q es una combinación lineal de las columnas de la matriz A.

proyeccion cuadrados minimos2

Gráfico

Lo último que pide es el gráfico de la función que ajusta a los datos, es decir el gráfico de g(x). Para ello conviene evaluarla en los puntos que nos daban, que serían x = 2, x = -2 y x = 1. Luego podemos hallar los ceros de la cubica que son tres y ya con esto es suficiente para graficar.

Como g(x) = 2x – 0,4x³, vale cero para x = 0 y además si 2 – 0,4x² = 0 es decir si x² = 2/0,4, es decir si x² = 5.

Graficando en Geogebra (también los puntos y su imagen real, y evaluando en la función obtuvimos su imagen aproximada, es decir su imagen en g(x)).

grafico en geogebra.png

Error

Para encontrar el error hay que restarle Q a Y, ya que esta es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado. Luego, el error es

proyeccion cuadrados minimos3

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Métodos Numéricos

Hallar el polinomio de Lagrange que interpola los datos

Los puntos son los siguientes

Interpolar Lagrange.png

Resolución

El polinomio de Lagrange es un polinomio que pasa por todos lo puntos de la función o por todo un conjunto de puntos. En este caso queremos que el polinomio pase por los puntos (0,1), (2,4) y (5,2). Como son tres puntos si o si va a existir un polinomio de grado 2 que pase por todos ellos.

Entonces vamos a usar la siguiente expresión para el polinomio de Lagrange

Interpolar Lagrange 2

(si quieres ver cómo es la obtención de esta fórmula clickea el siguiente enlace! Polinomio Interpolador de Lagrange)

Antes de reemplazar, lo primero que nos conviene reescribir es la sumatoria y la productoria.

Reescribiendo la expresión

Entonces vamos a sumar tres términos, uno con i=0, uno con i=1, y otro con i=2.

Interpolar Lagrange 3

Ahora desarrollamos las productorias para esos valores de j (1 y 2 en el primer término, 0 y 2 en el segundo, 0 y 1 en el tercero). Y finalmente queda la siguiente expresión

Interpolar Lagrange 4

Para recordarla!

Notar que la forma final es sencilla de recordar, si recordamos cuales son las condiciones que tiene que cumplir el polinomio. Sabemos que para x0 tiene que valer y0, que para x1 tiene que valer y1, y que para x2 tiene que valer y2, para que todos los puntos pertenezcan al polinomio.

Por lo cual una forma muy sencilla de armarla es poner los términos x – x0, x – x1 y x – x2 en el nominador, cuando queremos que al reemplazar por x0, x1 y x2, el término se cancele.

Polinomio interpolador Lagrange.png

Y luego poner lo necesario debajo para que al reemplazar por X0 en L0 me quede un 1, al reemplazar por X1 en L1 me quede un 1, y para que al reemplazar por X2 en L2 me quede un 1.

Polinomio interpolador Lagrange 7.png

Reemplazando

Ahora si podemos reemplazar los valores. Como los puntos son (0,1), (2,4) y (5,2), podemos llamar

Polinomio interpolador Lagrange 4

Luego el polinomio queda

Polinomio interpolador Lagrange 3

Todo lo que hay en los denominadores son números. Haciendo estas cuentas

Polinomio interpolador Lagrange 5

y ordenando un poco queda esta expresión

Polinomio interpolador Lagrange 6

En general no es necesario distribuir solo checkear que los puntos pertenezcan al polinomio, pero al hacerlo quedaría

Polinomio interpolador Lagrange 9.png

Verificación

El último paso es reemplazar para verificar que todos los puntos pertenezcan al polinomio.

Verificamos que todos los puntos pertenezcan al polinomio.

Polinomio interpolador Lagrange 10

Todos los puntos pertenecen al polinomio.

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